基础通关 线性代数5道典型例题及解析
你好，我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数。
今天这一节课的内容是基础通关。这里会用5道典型例题，让你巩固一下线性代数的基础知识，这也是进入应用篇学习之前的一次动手机会。从课程上线到现在快有一个月了，这期间我收到了不少同学的提问和建议，有些问题也是我没有想到的，非常有深度，说实话这让我感觉挺意外的，希望你再接再厉。
现在，你可以看一下基础通关的5道例题了，题目和解析都放在了正文中，你可以自己试着做一下。基础通关后，我们应用篇再见。
例题一
找到线性方程组$Ax=b$的所有解，其中：
$$
A=\left[\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 0 \\
-1 & 2
\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right]
$$
解析：
这里考察了解线性方程组的方法，特别是高斯消元法，你可以参考第4节的内容。
首先，形成增广矩阵：
$$
\left[\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 1 \\
3 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 1
\end{array}\right]
$$
接着，分步计算增广矩阵的行阶梯形矩阵：
- 第一行乘-3和第二行相加。
- 第一行和第三行相加。
$$
\left[\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 1 \\
0 & -6 & -3 \\
0 & 4 & 2
\end{array}\right]
$$
- 第二行乘$\frac{1}{3}$和第一行相加。
- 第二行乘$\frac{2}{3}$和第三行相加。
- 第三行乘$-\frac{1}{6}$。
$$
\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & \frac{1}{2} \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
最后得出该线性方程组的唯一解：
$$
x=\left[\begin{array}{l}
0 \\
\frac{1}{2}
\end{array}\right]
$$
例题二
找到线性方程组$Ax=b$的所有解，其中：
$$
A=\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
0 & 2 & 2
\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right]
$$
解析：
这里考察了解线性方程组的方法，特别是高斯消元法。你可以参考第4节的内容，和例题一不同的是，例题二这里得到的会是无穷解。所以，这一题里找特殊解和通用解的方法是关键。
首先，形成增广矩阵：
$$
\left[\begin{array}{lllll}
1 & 2 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 2 & 1 & 1
\end{array}\right]
$$
接着，形成增广矩阵：分步计算增广矩阵的行阶梯形矩阵：
- 第一行乘-1和第二行相加；
- 第二行乘1/2。
$$
\left[\begin{array}{lllll}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & \frac{1}{2}
\end{array}\right]
$$
使用主元列，得到特殊解：
$$
x=\left[\begin{array}{l}
0 \\
\frac{1}{2} \\
0
\end{array}\right]
$$
下一步，获取线性方程组$Ax=0$的通用解，从增广矩阵的左边，能够立即得出：
$$
\lambda\left[\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-1
\end{array}\right]
$$
最后，把特殊解和通用解组合起来就是：
$$
x=\left[\begin{array}{l}
0 \\
\frac{1}{2} \\
0
\end{array}\right]+\lambda\left[\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-1
\end{array}\right]
$$
例题三
计算矩阵乘$AB$。
$$
A=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
0 & -1 & 2
\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccc}
4 & -1 & 2 \\
0 & 2 & 1
\end{array}\right]
$$
解析：
这里考察了基本的矩阵乘运算，特别是普通矩阵乘，只有相邻阶数匹配的矩阵才能相乘，你可以参考第3节的内容。
矩阵乘无法完成，因为$A$是2行3列矩阵，$B$也是2行3列矩阵，$A$和邻居维度不同。
例题四
计算矩阵乘$AB$。
$$
A=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
0 & -1 & 2
\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}
4 & -1 \\
2 & 0 \\
2 & 1
\end{array}\right]
$$
解析：
这里考察了基本的矩阵乘运算，特别是普通矩阵乘，你可以参考第3节的内容。
矩阵乘可以完成，因为两个矩阵的邻居维度相同，拿$a_{11}$举例：$a_{11}=1 \times 4+2 \times 2+3 \times 2=14$，结果：
$$
A B=\left[\begin{array}{cc}
14 & 2 \\
2 & 2
\end{array}\right]
$$
例题五
假设$R^{3}$和它的运算$\langle ·,· \rangle$，$x, y \in R^{3}$，我们有：
$$
\langle x, y\rangle=x^{T} A y, A=\left[\begin{array}{ccc}
4 & 2 & 1 \\
0 & 4 & -1 \\
1 & -1 & 5
\end{array}\right]
$$
那么，$\langle ·,· \rangle$是内积吗？
解析：
这里考察了内积，以及内积的性质之一：对称性，你可以参考第10节的内容。
选择$x=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0\end{array}\right]^{T}$，$y=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0\end{array}\right]^{T}$，通过计算，能够得到：
$$
\begin{array}{l}
\langle x, y\rangle=16 \\
\langle y, x\rangle=14 \\
\langle x, y\rangle \neq\langle y, x\rangle
\end{array}
$$
于是，$\langle ·,· \rangle$是不对称的。