数学专栏课外加餐（一） 我们为什么需要反码和补码？
你好，我是黄申。欢迎来到第一次课外加餐时间。
专栏已经更新了几讲，看到这么多人在留言区写下自己的疑惑和观点，我非常开心。很多同学在留言里提出了很多非常好的问题，所以我决定每隔一段时间，对留言里的疑问、有代表性的问题做个集中的解答，也是对我们主线内容做一个补充，希望对你有帮助。
什么是符号位？为什么要有符号位？
在第1讲里，我介绍了十进制数转二进制数。这里面很多人对逻辑右移和算术右移中提到的符号位和补码有疑惑。这里面涉及了几个重要的概念，包括符号位、溢出、原码、反码和补码。我详细讲一下这几个点的来龙去脉。
首先我们来看，什么是符号位，为什么要有符号位？用一句话来概括就是，符号位是有符号二进制数中的最高位，我们需要它来表示负数。
在实际的硬件系统中，计算机CPU的运算器只实现了加法器，而没有实现减法器。那么计算机如何做减法呢？我们可以通过加上一个负数来达到这个目的。比如，3-2可以看作3+(-2)。因此，负数的表示对于计算机中的二进制减法至关重要。
那么，接下来的问题就是，如何让计算机理解哪些是正数，哪些是负数呢？为此，人们把二进制数分为有符号数（signed）和无符号数（unsigned）。
如果是有符号数，那么最高位就是符号位。当符号位为0时，表示该数值为正数；当符号位为1时，表示该数值为负数。例如一个8位的有符号位二进制数10100010，最高位是1，这就表示它是一个负数。
如果是无符号数，那么最高位就不是符号位，而是二进制数字的一部分，例如一个8位的无符号位二进制数10100010，我们可以通过第1讲讲过的内容，换算出它所对应的十进制数是162。由于没有表示负数的符号位，所有无符号位的二进制都代表正数。
有些编程语言，比如Java，它所有和数字相关的数据类型都是有符号位的；而有些编程语言，比如C语言，它有诸如unsigned int这种无符号位的数据类型。
下面我们来看，什么是溢出？
在数学的理论中，数字可以有无穷大，也有无穷小。可是，现实中的计算机系统，总有一个物理上的极限（比如说晶体管的大小和数量），因此不可能表示无穷大或者无穷小的数字。对计算机而言，无论是何种数据类型，都有一个上限和下限。
在Java中，int型是32位，它的最大值也就是上限是231-1（最高位是符号位，所以是2的31次方而不是32次方），最小值也就是下限是-231。而long型是64位，它的最大值，也就是上限是263-1；最小值，也就是下限是-263。
对于n位的数字类型，符号位是1，后面n-1位全是0，我们把这种情形表示为-2^(n-1) ，而不是2^(n-1)。一旦某个数字超过了这些限定，就会发生溢出。如果超出上限，就叫上溢出（overflow）。如果超出了下限，就叫下溢出（underflow）。
那么溢出之后会发生什么呢？我以上溢出为例来给你解释。
n位数字的最大的正值，其符号位为0，剩下的n-1位都为1，再增大一个就变为了符号位为1，剩下的n-1位都为0。而符号位是1，后面n-1位全是0，我们已经说过这表示-2^(n-1)。
那么就是说，上溢出之后，又从下限开始，最大的数值加1，就变成了最小的数值，周而复始，这不就是余数和取模的概念吗？下面这个图可以帮助你理解。
其中右半部分的虚线表示已经溢出的区间，而为了方便你理解，我将溢出后所对应的数字也标在了虚线的区间里。由此可以看到，所以说，计算机数据的溢出，就相当于取模。而用于取模的除数就是数据类型的上限减去下限的值，再加上1，也就是(2(n-1)-1)-(-2(n-1))+1=2x2(n-1)-1+1=2n-1+1。
你可能会好奇，这个除数为什么不直接写成2n呢？这是因为2n已经是n+1位了，已经超出了n位所能表示的范围。
二进制的原码、反码及补码
理解了符号位和溢出，我接下来说说，什么是二进制的原码、反码和补码，以及我们为什么需要它们。
原码就是我们看到的二进制的原始表示。对于有符号的二进制来说，原码的最高位是符号位，而其余的位用来表示该数字绝对值的二进制。所以+2的原码是000…010，-2的的原码是100.…010。
那么我们是不是可以直接使用负数的原码来进行减法计算呢？答案是否定的。我还是以3+(-2)为例。
假设我们使用Java中的32位整型来表示2，它的二进制是000…010。最低的两位是10，前面的高位都是0。如果我们使用-2的原码，也就是100…010，然后我们把3的二进制原码000…011和-2的二进制原码100…010相加，会得到100…0101。具体计算你可以看我画的这张图。
二进制编码上的加减法和十进制类似，只不过，在加法中，十进制是满10才进一位，二进制加法中只要满2就进位；同样，在减法中，二进制借位后相当于2而不是10。
相加后的结果是二进制100…0101，它的最高位是1，表示负数，而最低的3位是101，表示5，所以结果就是-5的原码了，而3+(-2)应该等于1，两者不符。
如果负数的原码并不适用于减法操作，那该怎么办呢？这个问题的解答还要依赖计算机的溢出机制。
我刚刚介绍了溢出以及取模的特性，我们可以充分利用这一点，对计算机里的减法进行变换。假设有i-j，其中j为正数。如果i-j加上取模的除数，那么会形成溢出，并正好能够获得我们想要的i-j的运算结果。如果我说的还是不太好理解，你可以参考下面这张图。
我们把这个过程用表达式写出来就是i-j=(i-j)+(2n-1+1)=i+(2n-1-j+1)。
其中2n-1的二进制码在不考虑符号位的情况下是n-1位的1，那么2n-1-2的结果就是下面这样的：
从结果可以观察出来，所谓2n-1-j相当于对正数j的二进制原码，除了符号位之外按位取反（0变1，1变0）。由于负数-j和正数j的原码，除了符号位之外都是相同的，所以，2n-1-j也相当于对负数-j的二进制原码，除了符号位之外按位取反。我们把2^n-1-j所对应的编码称为负数-j的反码。所以，-2的反码就是1111…1101。
有了反码的定义，那么就可以得出i-j=i+(2^n-1-j+1)=i的原码+(-j的反码)+1。
如果我们把-j的反码加上1定义为-j的补码，就可以得到i-j=i的原码+(-j的补码)。
由于正数的加法无需负数的加法这样的变换，因此正数的原码、反码和补码三者都是一样的。最终，我们可以得到i-j=i的补码+(-j的补码)。
换句话说，计算机可以通过补码，正确地运算二进制减法。我们再来用3+(-2)来验证一下。正数3的补码仍然是0000…0011，-2的补码是1111…1110，两者相加，最后得到了正确的结果1的二进制。
可见，溢出本来是计算机数据类型的一种局限性，但在负数的加法上，它倒是可以帮我们大忙。
最后，给你留一道思考题吧。理解了负数的原码、反码和补码之后，你能算算看，8位的有符号位二进制数10100010，对应的是哪个十进制数吗？
好了，关于二进制的补充内容就到这里了。欢迎你继续留言给我。你也可以点击“请朋友读”，把今天的内容分享给你的好友，和他一起精进。
- 奔跑的蜗牛 👍（5） 💬（1）
疑问1:为什么i-j得加上取模的除数？ 疑问2:2^n-1就是32位1，这个地方就又没有符号位之说了？ 疑问3:非符号位计算溢出会进到符号位嘛？ 麻烦老师帮忙解答下
2019-04-27 - 梓航(﹏) 👍（31） 💬（1）
老师，你讲的那个取模和反码的关系那一段我看不懂，之前看书也没有遇到你说的这种概念，请问还有其他学习资料吗？
2018-12-24 - 随欣所遇 👍（22） 💬（2）
用大家熟悉的一周七天进行对比吧 1、计算数据的溢出相当于模：假设第1天为周一，第2天为周二，以此类推第7天为周日，第8天已经大于7溢出了，8对7进行取模为1，也即第八天为周一；取模的除数为上限减去下限+1，替换过来换算：一周的上限为7，下限为1，那一周取模的除数换算为：7-1+1，所以我们想要知道第15天后是周几直接对（7-1+1）取模即可； 2、i-j=(i-j)+(2^n-1+1)=i+(2^n-1-j），可以换算为 周一 = （周一）+ （7-1+1）进行理解（ps：不一定周一，周几都为同一样，只是将 i-j 看成一个单元用其做概念上的替换）
2019-04-12 - 石佳佳_Gemtra 👍（19） 💬（4）
思考题： 原码：10100010 对补码除符号位取反得 反码：11011101 +1操作得 补码：11011110 对应十进制数：-94 还有一种方法，把负数原码除符号位外求和，减去 （2^n-1+1），即 2+32-(2^7-1+1)=-94
2018-12-24 - 风轨 👍（12） 💬（1）
思考题 0b10100010 = 0b10000000 + 0b00100010 其中 0b10000000 = -128 0b00100010 = 34 所以答案是 -94 2进制取相反数公式 相反数 = 原数减一再取反 - 0b10100010 = !(0b10100010-1) = 0b01011110 = 94
2018-12-24 - 恒 👍（7） 💬（1）
补码代码的数值的快速求法 负数补码通过非符号位0出现的位置来计算，然后计算结果加1，最后带上符号即可。 比如 1000,非符号位为000，按照0出现的位置计算，000=2^2+2^1+2^0=4+2+1=7,结果加上1后得到8，所以这个二进制数 表示-8 正数补码看非符号位1出现的位置来计算，然后加上符号即可。 比如 0111，非符号位为111，按照1出现的位置计算,111=4+2+1=7 所以这个二进制数 表示+7 对补码的理解： 目的：为了使用相同电路来实现加减运算，使得计算机cpu设计更加容易 为何用补码，可以通过如下四位数模拟补码从0开始一直加1的情况 0000 = 0 0001 = 1 0010 = 2 0011 = 3 0100 = 4 0101 = 5 0110 = 6 0111 = 7 1000 = -8 1001 = -7 1010 = -6 1011 = -5 1100 = -4 1101 = -3 1110 = -2 1111 = -1 0000 = 0 （再加1又从0开始了，上面表示的不同数值的个数是2^4=16,所以模是16） ... 然后上溢和下溢也顺便理解了，如下所示， 上溢就是4位二进制数的正数的最大值加1，然后通过补码加法运算后结果是4位二进制数的最小数-8 上溢：7 + 1 =0111+0001=1000(4位二进制数的最小数)=-8 注：加上1的目的是最大值再大一点，当然就溢出了 下溢就是4位二进制数的负数的最小值加-1，然后通过补码加法运算后结果是4位二进制数的最大数+7 下溢：-8+(-1)=1000+1111=0111(最大数)=7 注：加上-1的目的是最小值再小一点，当然就溢出了
2019-06-18 - Temme 👍（6） 💬（1）
思考题:10100010 如果是原码，所对应的数字就是-34 如果是补码，那么就减一取反求原码，11011110，就是-94。 然而对着补码再去求一次补码也可以得出原码，所以神奇的是某个回答也是对的。。。这就是所谓的互为补码。
2019-06-19 - 彩色的沙漠 👍（6） 💬（1）
老师，不好意思 问题有一处错误，我纠正一下，以免误导后来的同学 java中int的最小值是-2^31 二进制源码:1 000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 二进制反码:1 111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 -2^31的补码还是自己，符号位进位舍弃
2018-12-26 - 夏飞 👍（5） 💬（1）
这不就是余数和取模的概念吗？ 这句话不明其意
2018-12-25 - 爱吃锅巴的沐泡 👍（4） 💬（1）
老师，请教一下问题 文章中讲的是原码到补码的推导过程。 一个二进制数在计算机中存储的形式就是补码。 那么一个数输入到计算机中就是补码形式，还是说有一个从原码到补码的推导过程？可是这个推导过程中也有减法，和补码把减法加法化的说法就冲突了？
2019-06-26 - 吾本糊涂 👍（3） 💬（1）
10100010直接用10进制表示不是-34吗 为啥要去它的补码再换算10进制？
2018-12-25 - 毕明亮 👍（3） 💬（1）
老师，评论里石佳佳说那个是源码取反加一，Li Shundong又说是补码取反加一得源码……看晕了
2018-12-24 - chengzise 👍（3） 💬（1）
计算机内部有符号数才用补码表示，10100010最高位为1是个负数，负数的绝对值是其补码取反再加1，为01011110。十进制为94.因此10100010的十进制值为-94
2018-12-24 - 江宁猎妈人 👍（2） 💬（1）
以前学计算机原理的时候，一直想不明白为啥补码这么设计，虽然也知道是取余，但一直没很清楚的推导过。这次看了文章更有体会。拿 4 位 2 进制数举例，-2 原码 1010，补码 1110，相当于 -6 的原码 ，也就是 -6 = -8 - (-2)，而 -8 正是一个循环。给 -6 加 1，1110 + 0001 = 1111 (-7)， -7 还原以后就是 - 1 = -2 + 1；继续下去 1111 + 0001 = 1/ 0000 = 0，这样就转回来了。 同样的，这也是补码 1000 代表 -8 的原因。 和上面一样，1001 是 -7 的补码，也是 -1 的原码。再减一位，变成1000 ，若用原码表示法，就是 -0，和 0000 都是 0，浪费了一个数。若以补码的思想，-8 - 0 = -8，这样摇身一变，就使得表示范围多了一位，弥补了 2 ^ n 的边界值。
2020-03-18 - Rainbow 👍（2） 💬（1）
“其中 2^n-1 的二进制码在不考虑符号位的情况下是 n-1位的1“ 这个地方不理解，2^n-1的符号位不是0吗？ 而2^n - 1是有位的1啊。 这个地方不理解，希望老师能解答一下~
2018-12-27