15 浮点数和定点数（上）：怎么用有限的Bit表示尽可能多的信息？
在我们日常的程序开发中，不只会用到整数。更多情况下，我们用到的都是实数。比如，我们开发一个电商App，商品的价格常常会是9块9；再比如，现在流行的深度学习算法，对应的机器学习里的模型里的各个权重也都是1.23这样的数。可以说，在实际的应用过程中，这些有零有整的实数，是和整数同样常用的数据类型，我们也需要考虑到。
浮点数的不精确性
那么，我们能不能用二进制表示所有的实数，然后在二进制下计算它的加减乘除呢？先不着急，我们从一个有意思的小案例来看。
你可以在Linux下打开Python的命令行Console，也可以在Chrome浏览器里面通过开发者工具，打开浏览器里的Console，在里面输入“0.3 + 0.6”，然后看看你会得到一个什么样的结果。
不知道你有没有大吃一惊，这么简单的一个加法，无论是在Python还是在JavaScript里面，算出来的结果居然不是准确的0.9，而是0.8999999999999999这么个结果。这是为什么呢？
在回答为什么之前，我们先来想一个更抽象的问题。通过前面的这么多讲，你应该知道我们现在用的计算机通常用16/32个比特（bit）来表示一个数。那我问你，我们用32个比特，能够表示所有实数吗？
答案很显然是不能。32个比特，只能表示2的32次方个不同的数，差不多是40亿个。如果表示的数要超过这个数，就会有两个不同的数的二进制表示是一样的。那计算机可就会一筹莫展，不知道这个数到底是多少。
40亿个数看似已经很多了，但是比起无限多的实数集合却只是沧海一粟。所以，这个时候，计算机的设计者们，就要面临一个问题了：我到底应该让这40亿个数映射到实数集合上的哪些数，在实际应用中才能最划得来呢？
定点数的表示
有一个很直观的想法，就是我们用4个比特来表示0～9的整数，那么32个比特就可以表示8个这样的整数。然后我们把最右边的2个0～9的整数，当成小数部分；把左边6个0～9的整数，当成整数部分。这样，我们就可以用32个比特，来表示从0到999999.99这样1亿个实数了。
这种用二进制来表示十进制的编码方式，叫作BCD编码（Binary-Coded Decimal）。其实它的运用非常广泛，最常用的是在超市、银行这样需要用小数记录金额的情况里。在超市里面，我们的小数最多也就到分。这样的表示方式，比较直观清楚，也满足了小数部分的计算。
不过，这样的表示方式也有几个缺点。
第一，这样的表示方式有点“浪费”。本来32个比特我们可以表示40亿个不同的数，但是在BCD编码下，只能表示1亿个数，如果我们要精确到分的话，那么能够表示的最大金额也就是到100万。如果我们的货币单位是人民币或者美元还好，如果我们的货币单位变成了津巴布韦币，这个数量就不太够用了。
第二，这样的表示方式没办法同时表示很大的数字和很小的数字。我们在写程序的时候，实数的用途可能是多种多样的。有时候我们想要表示商品的金额，关心的是9.99这样小的数字；有时候，我们又要进行物理学的运算，需要表示光速，也就是$3×10^8$这样很大的数字。那么，我们有没有一个办法，既能够表示很小的数，又能表示很大的数呢？
浮点数的表示
答案当然是有的，就是你可能经常听说过的浮点数（Floating Point），也就是float类型。
我们先来想一想。如果我们想在一张便签纸上，用一行来写一个十进制数，能够写下多大范围的数？因为我们要让人能够看清楚，所以字最小也有一个限制。你会发现一个和上面我们用BCD编码表示数一样的问题，就是纸张的宽度限制了我们能够表示的数的大小。如果宽度只放得下8个数字，那么我们还是只能写下最大到99999999这样的数字。
有限宽度的便签，只能写下有限大小的数字
其实，这里的纸张宽度，就和我们32个比特一样，是在空间层面的限制。那么，在现实生活中，我们是怎么表示一个很大的数的呢？比如说，我们想要在一本科普书里，写一下宇宙内原子的数量，莫非是用一页纸，用好多行写下很多个0么？
当然不是了，我们会用科学计数法来表示这个数字。宇宙内的原子的数量，大概在 10的82次方左右，我们就用$1.0×10^82$这样的形式来表示这个数值，不需要写下82个0。
在计算机里，我们也可以用一样的办法，用科学计数法来表示实数。浮点数的科学计数法的表示，有一个IEEE的标准，它定义了两个基本的格式。一个是用32比特表示单精度的浮点数，也就是我们常常说的float或者float32类型。另外一个是用64比特表示双精度的浮点数，也就是我们平时说的double或者float64类型。
双精度类型和单精度类型差不多，这里，我们来看单精度类型，双精度你自然也就明白了。
单精度的32个比特可以分成三部分。
第一部分是一个符号位，用来表示是正数还是负数。我们一般用s来表示。在浮点数里，我们不像正数分符号数还是无符号数，所有的浮点数都是有符号的。
接下来是一个8个比特组成的指数位。我们一般用e来表示。8个比特能够表示的整数空间，就是0～255。我们在这里用1～254映射到-126～127这254个有正有负的数上。因为我们的浮点数，不仅仅想要表示很大的数，还希望能够表示很小的数，所以指数位也会有负数。
你发现没，我们没有用到0和255。没错，这里的 0（也就是8个比特全部为0） 和 255 （也就是8个比特全部为1）另有它用，我们等一下再讲。
最后，是一个23个比特组成的有效数位。我们用f来表示。综合科学计数法，我们的浮点数就可以表示成下面这样：
$(-1)s×1.f×2e$
你会发现，这里的浮点数，没有办法表示0。的确，要表示0和一些特殊的数，我们就要用上在e里面留下的0和255这两个表示，这两个表示其实是两个标记位。在e为0且f为0的时候，我们就把这个浮点数认为是0。至于其它的e是0或者255的特殊情况，你可以看下面这个表格，分别可以表示出无穷大、无穷小、NAN以及一个特殊的不规范数。
我们可以以0.5为例子。0.5的符号为s应该是0，f应该是0，而e应该是-1，也就是
$0.5= (-1)0×1.0×2=0.5$，对应的浮点数表示，就是32个比特。
$s=0，e = 2{-1}$，需要注意，e表示从-126到127个，-1是其中的第126个数，这里的e如果用整数表示，就是$26+25+24+23+22+2^1=126$，$1.f=1.0$。
在这样的浮点数表示下，不考虑符号的话，浮点数能够表示的最小的数和最大的数，差不多是$1.17×10{-38}$和$3.40×10$。比前面的BCD编码能够表示的范围大多了。
总结延伸
你会看到，在这样的表示方式下，浮点数能够表示的数据范围一下子大了很多。正是因为这个数对应的小数点的位置是“浮动”的，它才被称为浮点数。随着指数位e的值的不同，小数点的位置也在变动。对应的，前面的BCD编码的实数，就是小数点固定在某一位的方式，我们也就把它称为定点数。
回到我们最开头，为什么我们用0.3 + 0.6不能得到0.9呢？这是因为，浮点数没有办法精确表示0.3、0.6和0.9。事实上，我们拿出0.1～0.9这9个数，其中只有0.5能够被精确地表示成二进制的浮点数，也就是s = 0、e = -1、f = 0这样的情况。
而0.3、0.6乃至我们希望的0.9，都只是一个近似的表达。这个也为我们带来了一个挑战，就是浮点数无论是表示还是计算其实都是近似计算。那么，在使用过程中，我们该怎么来使用浮点数，以及使用浮点数会遇到些什么问题呢？下一讲，我会用更多的实际代码案例，来带你看看浮点数计算中的各种“坑”。
推荐阅读
如果对浮点数的表示还不是很清楚，你可以仔细阅读一下《计算机组成与设计：硬件/软件接口》的3.5.1节。
课后思考
对于BCD编码的定点数，如果我们用7个比特来表示连续两位十进制数，也就是00～99，是不是可以让32比特表示更大一点的数据范围？如果我们还需要表示负数，那么一个32比特的BCD编码，可以表示的数据范围是多大？
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- lzhao 👍（60） 💬（7）
在这样的浮点数表示下，不考虑符号的话，浮点数能够表示的最小的数和最大的数，差不多是 1.17×10−381.17×10−38 和 3.40×10383.40×1038。比前面的 BCD 编码能够表示的范围大多了 这个范围怎么得来的
2019-05-29 - 小崔 👍（28） 💬（14）
对于0.5，按照老师的说法，可以用s = 0、e = -1、f = 0来表示。 但是对照表格，似乎s = 0、e = 0、f = 5也可以表示？请解惑
2019-05-29 - 陆离 👍（13） 💬（2）
如果觉得没有理解老师讲的可以参考阮一峰的一篇文章 http://www.ruanyifeng.com/blog/2010/06/ieee_floating-point_representation.html
2019-05-29 - 愤怒的虾干 👍（7） 💬（1）
老师，我在java里验证了下，譬如1.9999999f，小数点后的位数，即“9999999”七个9是没办法用8个bit位表示的，我猜测会失去精度变成2.0f，但是调用Float.toHexString发现是0x1.fffffep0，fffffe怎么看都不可能是9999999。于是我换了个数1.5f，16进制浮点数表示为0x1.8p0，可以看到小数点后是8,16进制的一半。这样看的话，上面的小数部分十进制显示是：fffffe/2^23 = 0.9999999，加上小数点前的1就是1.9999999了。 根据这个思路可以推算出规则浮点数最小1.0*2^（-126），最大(1 + (2^23 - 1)/2^23)*2^(127)
2019-05-29 - 古夜 👍（7） 💬（1）
对于那个公式，底数怎么表示？32位都给了符号位，指数位，小数位，底数怎么办？
2019-05-29 - humor 👍（6） 💬（1）
如果7位表示0-99的话，32位的取值范围是0-9999999.99。如果需要负数，第一位表示符号位，取值范围是-7999999.99-7999999.99
2019-05-29 - 任雪龙 👍（5） 💬（1）
老师，感觉今天这个讲的太粗糙了，很多东西都是用结果解释结果，比如对 0.5 这个数 s 、e、f 的值，值是从哪里推导得来的都没有解释，希望可以详细解释下
2019-05-29 - 88591 👍（1） 💬（1）
老师，为什么公式定义是 s x 1.f x 2e ,不是s x 2ex 1.f （这种方式更容易对应位数 ：符号位，指数位，有效位数）。
2019-12-09 - Only now 👍（1） 💬（1）
IEEE754?
2019-05-29 - 鱼向北游 👍（1） 💬（1）
老师可以扩展讲一下 移码 毕竟阶码部分并不是我们常见的原码或者补码 也不是移码的常见表示 还有非规格化表示法的由来
2019-05-29 - 林峰峰 👍（0） 💬（1）
突然发现今天才知道什么是浮点数...
2019-09-20 - Geek 👍（13） 💬（1）
7个比特的话，99的二进制是1100011，32位里有四个7，那就是99999999，还剩4个比特，正好用来表示一个9，所以最大应该是9999999.99，如果表示负数，第一位是符号位，所以之前剩余的四位，最大是（正）0111和（负）1111，也即是±7，所以结果是-7999999.99-7999999.99
2019-05-29 - 旺旺 👍（6） 💬（4）
0.3无法被精确表达： 1、首先想到会使用这种情况：s=0，e=0，f=11 但却触发了这个特殊规则：当s和e都为0，f不为0时，表达的是0.f 但是，0.f的时候，无论f怎么取值，都无法精确表达0.3。因为0.3的精确二进制表达式1.1
2019-05-30 - 曙光 👍（3） 💬（2）
突然发现，s f e不知道如何表示浮点数1了
2019-10-11 - 瀚海星尘 👍（2） 💬（1）
老师，这样一来，1用浮点数咋表示？
2019-07-12