37 贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？
基础的数据结构和算法我们基本上学完了，接下来几节，我会讲几种更加基本的算法。它们分别是贪心算法、分治算法、回溯算法、动态规划。更加确切地说，它们应该是算法思想，并不是具体的算法，常用来指导我们设计具体的算法和编码等。
贪心、分治、回溯、动态规划这4个算法思想，原理解释起来都很简单，但是要真正掌握且灵活应用，并不是件容易的事情。所以，接下来的这4个算法思想的讲解，我依旧不会长篇大论地去讲理论，而是结合具体的问题，让你自己感受这些算法是怎么工作的，是如何解决问题的，带你在问题中体会这些算法的本质。我觉得，这比单纯记忆原理和定义要更有价值。
今天，我们先来学习一下贪心算法（greedy algorithm）。贪心算法有很多经典的应用，比如霍夫曼编码（Huffman Coding）、Prim和Kruskal最小生成树算法、还有Dijkstra单源最短路径算法。最小生成树算法和最短路径算法我们后面会讲到，所以我们今天讲下霍夫曼编码，看看它是如何利用贪心算法来实现对数据压缩编码，有效节省数据存储空间的。
如何理解“贪心算法”？
关于贪心算法，我们先看一个例子。
假设我们有一个可以容纳100kg物品的背包，可以装各种物品。我们有以下5种豆子，每种豆子的总量和总价值都各不相同。为了让背包中所装物品的总价值最大，我们如何选择在背包中装哪些豆子？每种豆子又该装多少呢？
实际上，这个问题很简单，我估计你一下子就能想出来，没错，我们只要先算一算每个物品的单价，按照单价由高到低依次来装就好了。单价从高到低排列，依次是：黑豆、绿豆、红豆、青豆、黄豆，所以，我们可以往背包里装20kg黑豆、30kg绿豆、50kg红豆。
这个问题的解决思路显而易见，它本质上借助的就是贪心算法。结合这个例子，我总结一下贪心算法解决问题的步骤，我们一起来看看。
第一步，当我们看到这类问题的时候，首先要联想到贪心算法：针对一组数据，我们定义了限制值和期望值，希望从中选出几个数据，在满足限制值的情况下，期望值最大。
类比到刚刚的例子，限制值就是重量不能超过100kg，期望值就是物品的总价值。这组数据就是5种豆子。我们从中选出一部分，满足重量不超过100kg，并且总价值最大。
第二步，我们尝试看下这个问题是否可以用贪心算法解决：每次选择当前情况下，在对限制值同等贡献量的情况下，对期望值贡献最大的数据。
类比到刚刚的例子，我们每次都从剩下的豆子里面，选择单价最高的，也就是重量相同的情况下，对价值贡献最大的豆子。
第三步，我们举几个例子看下贪心算法产生的结果是否是最优的。大部分情况下，举几个例子验证一下就可以了。严格地证明贪心算法的正确性，是非常复杂的，需要涉及比较多的数学推理。而且，从实践的角度来说，大部分能用贪心算法解决的问题，贪心算法的正确性都是显而易见的，也不需要严格的数学推导证明。
实际上，用贪心算法解决问题的思路，并不总能给出最优解。
我来举一个例子。在一个有权图中，我们从顶点S开始，找一条到顶点T的最短路径（路径中边的权值和最小）。贪心算法的解决思路是，每次都选择一条跟当前顶点相连的权最小的边，直到找到顶点T。按照这种思路，我们求出的最短路径是S->A->E->T，路径长度是1+4+4=9。
但是，这种贪心的选择方式，最终求的路径并不是最短路径，因为路径S->B->D->T才是最短路径，因为这条路径的长度是2+2+2=6。为什么贪心算法在这个问题上不工作了呢？
在这个问题上，贪心算法不工作的主要原因是，前面的选择，会影响后面的选择。如果我们第一步从顶点S走到顶点A，那接下来面对的顶点和边，跟第一步从顶点S走到顶点B，是完全不同的。所以，即便我们第一步选择最优的走法（边最短），但有可能因为这一步选择，导致后面每一步的选择都很糟糕，最终也就无缘全局最优解了。
贪心算法实战分析
对于贪心算法，你是不是还有点懵？如果死抠理论的话，确实很难理解透彻。掌握贪心算法的关键是多练习。只要多练习几道题，自然就有感觉了。所以，我带着你分析几个具体的例子，帮助你深入理解贪心算法。
1.分糖果
我们有m个糖果和n个孩子。我们现在要把糖果分给这些孩子吃，但是糖果少，孩子多（m<n），所以糖果只能分配给一部分孩子。
每个糖果的大小不等，这m个糖果的大小分别是s1，s2，s3，……，sm。除此之外，每个孩子对糖果大小的需求也是不一样的，只有糖果的大小大于等于孩子的对糖果大小的需求的时候，孩子才得到满足。假设这n个孩子对糖果大小的需求分别是g1，g2，g3，……，gn。
我的问题是，如何分配糖果，能尽可能满足最多数量的孩子？
我们可以把这个问题抽象成，从n个孩子中，抽取一部分孩子分配糖果，让满足的孩子的个数（期望值）是最大的。这个问题的限制值就是糖果个数m。
我们现在来看看如何用贪心算法来解决。对于一个孩子来说，如果小的糖果可以满足，我们就没必要用更大的糖果，这样更大的就可以留给其他对糖果大小需求更大的孩子。另一方面，对糖果大小需求小的孩子更容易被满足，所以，我们可以从需求小的孩子开始分配糖果。因为满足一个需求大的孩子跟满足一个需求小的孩子，对我们期望值的贡献是一样的。
我们每次从剩下的孩子中，找出对糖果大小需求最小的，然后发给他剩下的糖果中能满足他的最小的糖果，这样得到的分配方案，也就是满足的孩子个数最多的方案。
2.钱币找零
这个问题在我们的日常生活中更加普遍。假设我们有1元、2元、5元、10元、20元、50元、100元这些面额的纸币，它们的张数分别是c1、c2、c5、c10、c20、c50、c100。我们现在要用这些钱来支付K元，最少要用多少张纸币呢？
在生活中，我们肯定是先用面值最大的来支付，如果不够，就继续用更小一点面值的，以此类推，最后剩下的用1元来补齐。
在贡献相同期望值（纸币数目）的情况下，我们希望多贡献点金额，这样就可以让纸币数更少，这就是一种贪心算法的解决思路。直觉告诉我们，这种处理方法就是最好的。实际上，要严谨地证明这种贪心算法的正确性，需要比较复杂的、有技巧的数学推导，我不建议你花太多时间在上面，不过如果感兴趣的话，可以自己去研究下。
3.区间覆盖
假设我们有n个区间，区间的起始端点和结束端点分别是[l1, r1]，[l2, r2]，[l3, r3]，……，[ln, rn]。我们从这n个区间中选出一部分区间，这部分区间满足两两不相交（端点相交的情况不算相交），最多能选出多少个区间呢？
这个问题的处理思路稍微不是那么好懂，不过，我建议你最好能弄懂，因为这个处理思想在很多贪心算法问题中都有用到，比如任务调度、教师排课等等问题。
这个问题的解决思路是这样的：我们假设这n个区间中最左端点是lmin，最右端点是rmax。这个问题就相当于，我们选择几个不相交的区间，从左到右将[lmin, rmax]覆盖上。我们按照起始端点从小到大的顺序对这n个区间排序。
我们每次选择的时候，左端点跟前面的已经覆盖的区间不重合的，右端点又尽量小的，这样可以让剩下的未覆盖区间尽可能的大，就可以放置更多的区间。这实际上就是一种贪心的选择方法。
解答开篇
今天的内容就讲完了，我们现在来看开篇的问题，如何用贪心算法实现霍夫曼编码？
假设我有一个包含1000个字符的文件，每个字符占1个byte（1byte=8bits），存储这1000个字符就一共需要8000bits，那有没有更加节省空间的存储方式呢？
假设我们通过统计分析发现，这1000个字符中只包含6种不同字符，假设它们分别是a、b、c、d、e、f。而3个二进制位（bit）就可以表示8个不同的字符，所以，为了尽量减少存储空间，每个字符我们用3个二进制位来表示。那存储这1000个字符只需要3000bits就可以了，比原来的存储方式节省了很多空间。不过，还有没有更加节省空间的存储方式呢？
霍夫曼编码就要登场了。霍夫曼编码是一种十分有效的编码方法，广泛用于数据压缩中，其压缩率通常在20%～90%之间。
霍夫曼编码不仅会考察文本中有多少个不同字符，还会考察每个字符出现的频率，根据频率的不同，选择不同长度的编码。霍夫曼编码试图用这种不等长的编码方法，来进一步增加压缩的效率。如何给不同频率的字符选择不同长度的编码呢？根据贪心的思想，我们可以把出现频率比较多的字符，用稍微短一些的编码；出现频率比较少的字符，用稍微长一些的编码。
对于等长的编码来说，我们解压缩起来很简单。比如刚才那个例子中，我们用3个bit表示一个字符。在解压缩的时候，我们每次从文本中读取3位二进制码，然后翻译成对应的字符。但是，霍夫曼编码是不等长的，每次应该读取1位还是2位、3位等等来解压缩呢？这个问题就导致霍夫曼编码解压缩起来比较复杂。为了避免解压缩过程中的歧义，霍夫曼编码要求各个字符的编码之间，不会出现某个编码是另一个编码前缀的情况。
假设这6个字符出现的频率从高到低依次是a、b、c、d、e、f。我们把它们编码下面这个样子，任何一个字符的编码都不是另一个的前缀，在解压缩的时候，我们每次会读取尽可能长的可解压的二进制串，所以在解压缩的时候也不会歧义。经过这种编码压缩之后，这1000个字符只需要2100bits就可以了。
尽管霍夫曼编码的思想并不难理解，但是如何根据字符出现频率的不同，给不同的字符进行不同长度的编码呢？这里的处理稍微有些技巧。
我们把每个字符看作一个节点，并且附带着把频率放到优先级队列中。我们从队列中取出频率最小的两个节点A、B，然后新建一个节点C，把频率设置为两个节点的频率之和，并把这个新节点C作为节点A、B的父节点。最后再把C节点放入到优先级队列中。重复这个过程，直到队列中没有数据。
现在，我们给每一条边加上画一个权值，指向左子节点的边我们统统标记为0，指向右子节点的边，我们统统标记为1，那从根节点到叶节点的路径就是叶节点对应字符的霍夫曼编码。
内容小结
今天我们学习了贪心算法。
实际上，贪心算法适用的场景比较有限。这种算法思想更多的是指导设计基础算法。比如最小生成树算法、单源最短路径算法，这些算法都用到了贪心算法。从我个人的学习经验来讲，不要刻意去记忆贪心算法的原理，多练习才是最有效的学习方法。
贪心算法的最难的一块是如何将要解决的问题抽象成贪心算法模型，只要这一步搞定之后，贪心算法的编码一般都很简单。贪心算法解决问题的正确性虽然很多时候都看起来是显而易见的，但是要严谨地证明算法能够得到最优解，并不是件容易的事。所以，很多时候，我们只需要多举几个例子，看一下贪心算法的解决方案是否真的能得到最优解就可以了。
课后思考
- 在一个非负整数a中，我们希望从中移除k个数字，让剩下的数字值最小，如何选择移除哪k个数字呢？
- 假设有n个人等待被服务，但是服务窗口只有一个，每个人需要被服务的时间长度是不同的，如何安排被服务的先后顺序，才能让这n个人总的等待时间最短？
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- 开心小毛 👍（229） 💬（14）
找零问题不能用贪婪算法，即使有面值为一元的币值也不行：考虑币值为100，99和1的币种，每种各一百张，找396元。 动态规划可求出四张99元，但贪心算法解出需三张一百和96张一元。
2018-12-31 - Jalyn 👍（73） 💬（11）
想知道目前没掉队的有多少 哈哈
2018-12-17 - bingo 👍（67） 💬（5）
@吴：wiki上的哈夫曼树是标准的生成步骤，老师这里举的例子是一种特殊情况，哈夫曼树构建的一般性方法在本科的教程上就写的很通俗了。 我用wiki里的值举个例子吧：原始集合的值是[2,3,4,4,5,7] 第一步：从原始集合中取出最小的两个值并将这两个值从原始集合中剔除，这两个最小的值相加得到一个新的值并加入原始集合，这两个小值作为这个新值的树叶，新值当然就是树根了。这一步执行之后原始集合就变成了这样： [ ⑤, 4,4,5,7] / \ 2 3 第二步：从更新后的集合中再取最小的两个值并剔除，同样相加得到新值加入到集合。这一步执行之后集合就变成了 [⑤, ⑧ ,5,7] / \ /\ 2 3 4 4 第三步，重复以上步骤，你懂得。结果是： [ ⑩, ⑧, 7] / \ / \ 5 ⑤ 4 4 / \ 2 3 第四步，结果是： [ ⑩, 15,] / \ / \ 5 ⑤ 7 ⑧ /\ / \ 2 3 4 4 最后一步，结果是： (25) (打不出圆圈了，用这个代替，应该不难理解，嗯) / \ ⑩ 15 / \ / \ 5 ⑤ 7 ⑧ /\ / \ 2 3 4 4 wiki哈夫曼树链接：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9C%8D%E5%A4%AB%E6%9B%BC%E7%BC%96%E7%A0%81 ps:大半夜手打，排版扎心
2019-02-22 - 蚂蚁内推+v 👍（15） 💬（7）
老师 区间覆盖的问题， (1-5) 和 (2-4) 中为什么选(2-4) 方便老师解释下吗， 贪心不能全局最优 用贪心 如何在这个问题上全局最优呢
2018-12-17 - 发飙的蜗牛 👍（11） 💬（1）
个人觉得分糖果不能使用贪心算法，如果使用可以加个条件一个孩子只能分一个糖果，因为可能存在孩子的满意度大于最小的糖果，但是最小的两个的和刚好满足。这个情况贪心就无法满足了。
2019-02-28 - 天，很蓝 ～ 👍（2） 💬（5）
如果文档中只有4个字符，分别是a，b，c，d出现的频率相等，都是100次。如果用00，01，10，11分别表示a，b，c，d的话，总共需要800bit就可以了。但是如果用霍夫曼编码的话，用1，01，001，000分别表示a，b，c，d的话反而需要900bit。这个是不是说明霍夫曼编码有时候是起不到压缩作用的？望老师解答
2019-06-20 - 乐凡 👍（2） 💬（3）
老师，我觉得那个霍夫曼编码可能有点缺陷，就是不同字符在字符串中出现的频率很接近，那如果还是按照给每个字符用不同长度的二进制码表示，很有可能会比前面用相同二进制码表示耗费的空间多（亲自测过）。我觉得每一个字符在字符串中出现的频率需要满足一定的大小差距，这样使用空间才会比使用相同数量的二进制码更少。这个大小差距点的公式不太好算，笨一点的办法就是用两种方式比较下占用空间大小。
2019-03-21 - William 👍（0） 💬（2）
霍夫曼编码原理 , 不是要求左子树小于右子树么, 按照您的写法, 都依次排列在了右子树啊.
2019-08-01 - likun 👍（0） 💬（1）
老师 你给的钱币找零的例子是可以用贪心回去到最优解 但存在其他面额的例子对于贪心是获取不到最优解的 为什么你给的例子用贪心就能获取到最优解呢？
2019-06-20 - djfhchdh 👍（0） 💬（1）
上面霍夫曼编码构造出的那个树形结构，是不是解码也可以用？？
2019-05-23 - 刘涛涛 👍（0） 💬（1）
请问老师，区间覆盖那道题是不是应该每次选取剩余区间最大的呢，也就是每次排序需要按照end由小到大，然后在判断他是否和前面有重叠呢
2019-04-08 - GJ 👍（0） 💬（2）
分糖果：从最大的开始，分配给需求最大的小孩，也可以满足最多的小孩数。这逻辑没错吧
2019-03-30 - ddsoma 👍（0） 💬（2）
老师关于这个区间覆盖“我们按照起始端点从小到大的顺序对这 n 个区间排序。” 能不能按照终点从小到大来排序，然后检查的活动i的开始时间starti小于最近选择的活动j的结束时间endj，则不选择活动i，否则选择活动i加入集合中。
2019-03-23 - 若星 👍（0） 💬（1）
不能在留言下回复，就整个踩的功能，让点赞数减去踩的数，决定排序。现在，错的答案，误导大家，都可以审核通过😒
2019-01-30 - zj 👍（0） 💬（1）
表示第二个思考题怎么安排都是一样的吧，一个窗口是串行的，只能一个个的服务
2018-12-25