《从一到无穷大》 柴知道解读
《从一到无穷大》| 柴知道解读
关于作者
乔治·伽莫夫，世界顶尖的物理学家、天文学家、生物学家，曾师从著名物理学家玻尔和卢瑟福。在物理学领域，他是最早提出宇宙“大爆炸”理论的学者之一。在生物学领域，他首先提出了生物学中的“遗传密码”理论，给了 DNA 之父克拉克以很大的启发。伽莫夫是一代科普宗师，一共出版了18部科普作品，还曾获得过联合国教科文组织颁发的卡林伽科普奖。
关于本书
《从一到无穷大》是伽莫夫最著名的代表作，也是20世纪最具影响力的科普杰作之一。在20世纪70年代引进中国后曾引起重大反响，滋润了整整一代年轻人。语言学大师斯蒂芬·平克曾说，这本书直接影响了自己在科普写作方面的兴趣。
核心内容
伽莫夫从“无穷大数”开始讲起，从数学知识入手，逐步介绍了物理学、化学、热力学、遗传学、宇宙学等领域在20世纪取得的重大进展，探讨了人类对于微观世界和宏观世界的认知。全书涵盖内容广博，语言深入浅出。
你好，欢迎每天听本书。本期音频为你解读的是《从一到无穷大》，副标题是“科学中的事实和臆测”。这本书的中文版大约25万字，我会用大约29分钟的时间，为你讲述书中精髓：数学作为一门我们印象中只是研究概念的学科，却能连接起不同领域的知识，帮助人类重新认识世界。
清华大学科技与社会研究所的刘兵教授，1978年在北大物理学院读大一，在数学老师的推荐下，第一次读到了《从一到无穷大》这本书。刘兵教授说，当时的感觉就像是在读侦探小说一样，手不释卷，欲罢不能，一晚上就读完了，之后又翻来覆去读了好多遍。他至今还认为，这是他读过的最好的科普书。不光刘兵一个人有这种感觉，从那个年代过来的大学生，许多人都对这本书有特殊的感情：当年中国刚刚恢复高考，大批青年迫切地需要科学读物，《从一到无穷大》中文版当年首印55万本，风靡一时，可以说是滋养了整整一代年轻人。而且，这本书写得非常有趣，无论文化程度高低，都能从中感受到科学的巨大魅力。甚至有读者说，自己就是读了这本书，才立志要成为一个物理学家。这可一点都不夸张，当今世界最杰出的实验心理学家、语言学大师斯蒂芬·平克，在小时候就读过这本书，他对于学术以及科普写作的兴趣，就受到了这本书的很大影响。
《从一到无穷大》之所以能做到这一点，跟作者本人的水平有很大关系。作者乔治·伽莫夫是世界顶级的物理学家和天文学家，同时被誉为“科普界的一代宗师”。伽莫夫本人对各领域的科学有着非常浓厚的兴趣。伽莫夫是热宇宙大爆炸模型的提出者，预言了微波背景辐射的存在，这是他最重要的学术贡献。除了物理学以外，伽莫夫对分子生物学也很有研究，他是第一个从密码学角度来思考 DNA 的人，这给了 DNA 之父克拉克很大的启发，推动了人类对于 DNA 的研究。
《从一到无穷大》是伽莫夫最为知名的代表作，也是20世纪最为知名的经典科普著作之一。在20世纪，人类对世界的认知突飞猛进，但这些理论非常抽象，脱离了日常认知的范畴，普通人理解不了。而伽莫夫的这本书，就是用日常语言来讲述抽象科学，是一本面向普通人的科普著作。他从数学开始讲起，延伸到物理学、生物学、化学等各个领域，介绍了相对论、量子力学、基因、宇宙大爆炸这些20世纪最为重大的科学进展，而且讲述方法深入浅出，非常有趣。
《从一到无穷大》的书名本身，就是一个数学问题。整本书也是从数学问题出发，逐步发散到其他各个学科领域，并在数学和其他学科之间建立了意想不到的联系。书的第一部分，就是讲纯数学问题，比如无穷大数、自然数等等。第二部分从几何学入手，讲了物理学中的空间和时间问题。第三部分比较杂，讲了基因、化学、热力学的问题。最后一部分就把目光扩展到宇宙，讲了恒星、星系的诞生等内容。从全书的结构上来看，数学既是这本书的思维出发点，也是书中各个问题的基础。所以接下来，我就从书中挑选出几个最为精彩的、最违反人们日常直觉的数学问题，带你了解本书的精髓。
首先要看的是包含在书名中的纯数学问题，无穷大到底有多大？然后第二个问题，把数学和物理学结合起来，了解一下虚数有什么用？最后再从简单的几何知识入手，来看看如何理解弯曲的三维空间。
先来看一个纯数学问题，无穷大到底有多大？
无穷大的数字，在数学上经常能碰到，但是没人能真正想象出，无穷大的数字到底有多大。数学家对无穷大做过很多研究，发现它的性质，跟普通的数字完全不同。最先思考无穷大这个问题的是一位叫康托尔的数学家，他提出了一个问题：像1、2、3、100这样的整数，一共有无穷多个；一条线上点的数目，也是无穷多个。那整数的个数和一条线上点的个数，到底哪个更大些呢？你肯定会想，这不是抬杠吗？既然都是无穷大了，那还怎么比呢？无处下手嘛。但数学家还真想出了一个办法，叫“一一对应”。
用一个简单的例子来说明一下。假如有一群不懂数学的原始人，他们手上有一堆石头和一堆铜钱，那他们怎么知道是石头的数目多，还是铜钱的数目多呢？你可以想象，他们肯定会把石头和铜钱一个个摆开，然后一一对应，用一个石头对应一个铜钱，如果最后剩下了铜钱，那就是铜钱多，剩下了石头，那就是石头多，如果刚好能做到一一对应，一个不多一个不少，那两者就一样多。
数学家们在比较两个无穷大的大小的时候，用的就是类似的方法。比如说，奇数和偶数的数目都是无穷的，那奇数和偶数哪个更多呢？你可以用奇数1对应偶数2，奇数3对应偶数4，奇数5对应偶数6……这么一来就会发现，奇偶数可以一一对应，所以奇数的总数和偶数的总数是相等的。这个很容易理解，但如果往下再追问一层，问题就复杂了。
比如说，偶数的总数和整数的总数，哪个更多呢？整数包含了所有的偶数和奇数，所以乍看起来，肯定是整数要比偶数多。但如果你用一一对应的规则来算一下的话，就会发现结论好像不是这样：你看，整数1可以对应偶数2，整数2可以对应偶数4，整数3可以对应偶数6，你可以一直这么对应下去，发现二者刚好是可以一一对应，一个不多一个不少的。也就是说，整数的数目，跟偶数的数目，其实是一样多的。由此可见，在无穷大的情况下，部分是可以等于整体的，这跟我们的常识很不一样，是违背我们的直觉的。
如果你想形象化地理解这个问题，那可以借助德国数学家希尔伯特提出的一个著名的思想实验，叫“希尔伯特的旅馆”。希尔伯特旅馆是一家拥有无穷个房间的旅馆，而且所有的房间都已经住满了。那如果这时你要去住店，旅馆能不能装得下呢？老板说，可以！我把你安排到1号房间，然后把原来住在1号房的旅客移到2号房间，2号房的旅客移到3号房，3号房的旅客再移到4号房……一直这么移下去，大家就都能有房间住。那如果说，你不是一个人去住店，而是带了无穷多的人一起去住店，那旅馆能不能住得下呢？答案还是可以。老板可以把1号房的旅客安排到2号房，2号房的旅客安排到4号房，3号房的旅客安排到6号房……这么一直递推下去，所有新来的人都可以住进去。
从“希尔伯特的旅馆”中就能看出，在无穷大的情况下，整体和部分有可能是一样大的。无穷大加上无穷大，还是等于无穷大，日常的数学观念在这里失效了。那是不是说，所有无穷大的数字都是相等的呢？也不是。我们可以回到刚才康托尔提出的那个问题，整数的个数，和一条线段上的点的个数，哪个更多呢？
继续用一一对应的方法来看一下。我们可以给线段上的每一个点都赋予一个数字，这个数字就是它距离线段一个端点的距离，这很好理解。那这条线段上不光有代表整数的点，还会有代表小数的点，还有代表无限不循环小数的点。如果你用整数去一一对应这些点的话，就会发现，无论你用什么方式，总有一些点是你对不上的。所以，虽然二者都是无穷大的，但线段上点的数目，要大于整数的数目。也就是说，即使都是无穷大，但不同的无穷大之间也可能存在着大小区分。有些无穷大，就比其他的无穷大要高上一个等级。
目前数学家发现，无穷大数一共有三个等级。第一级无穷大，就是整数的数目。第二级无穷大，就是线段、长方形、立方体这些几何结构里点的数目。也就是说，一条线段上所有点的数目，跟一个长方形里所有点的数目，或者是一个立方体内所有点的数目，都是一个级别的，是相等的。第三级无穷大，是所有曲线的形状的数目。什么意思呢？就是假如你随手画一条歪歪扭扭的曲线，随便画，你肯定能够画出无穷多种形状的曲线。这些千奇百怪的曲线的总数，是无穷大的，而且是第三级无穷大，是最高等级的无穷大。直到现在为止，数学家也没有发现比这个无穷大还大的数字。
刚才讲的就是第一个问题，无穷大到底有多大？数学家采用一一对应的方式，对不同的无穷大进行对比后发现，无穷大数字的性质，跟普通的数字完全不同。在无穷大中，整体和部分可以一样大。但也并不是所有的无穷大都是一样大的，目前科学家一共发现了三级无穷大，比如线段上点的数目，就比所有整数的数目要更大。
看完了无穷大这个纯数学问题，接下来就要把数学和物理学结合起来了。就来看看虚数到底有没有用？
我们知道，一个数的平方，永远是正数，10的二次方是正100，负10的二次方还是正100。所以可以理所当然地认为，只有正数才有平方根，负数是没有平方根的。但数学家们在进行计算的时候，其实经常会碰到负数的平方根。比如说，有没有可能找出两个数字，让它们加起来等于10，乘积等于40呢？在实数范围内来看，答案是不存在的。但如果允许负数的平方根存在的话，那我们就可以找出一个答案，只不过这个答案中会包含根号-15这个奇怪的数字。数学家给负数的平方根起了个名字，跟实数相对应，叫虚数，还规定，根号-1叫i，这样的话，根号-20就是20i，根号-15就是15i。
但虚数这个东西，实在是看不出它有什么意义，所以即使它在数学计算里大量出现，数学家们一开始还是不承认它的名分。比如著名的数学家欧拉就说，虚数是想象出来的数，是不可能存在的，它们什么都不是，纯属虚幻。不过话虽这么说，欧拉该用虚数的时候还是用，因为实在没办法，不用的话，很多计算根本无法进行。
虚数的这种尴尬地位持续了整整有200多年，最后还是两个业余数学家给了它一个名分。这俩人一个是测绘员，一个是会计师，他俩从几何的角度，给虚数做了这样一个解释：你看啊，我们平常说的“数轴”，一般就是画一条横线，然后标上一个零点，左边是负数，右边是正数。那虚数如果要在数轴上找一个位置，应该怎么找呢？这两位说，在这条横线上，那肯定是找不到的，我们应该在零点处画一条跟横轴垂直的纵轴，也标上1、2、3、4……只不过这条线是代表虚数，所以其实是1i、2i、3i……这样一来，两条线组成一个坐标系，所有的数字，就都能在这个坐标系里找到了。比如15i，也就是根号-15，就在坐标轴里的纵轴上，如果是20+根号-15，那就在横轴上找到20，纵轴上找到15i，然后二者一交会，就能在坐标轴里找到这个数字。
你肯定想问，道理我都懂，但这个虚数不还是没用吗？其实，虚数还真有用，而且有大用处。我们可以用虚数，来把时间和空间结合起来，构建出一套四维空间的几何学。而这套几何学会让我们发现，时间和空间并不是绝对独立的，也不是恒定不变的。如果你对物理学比较熟悉就会发现，这个观点就是爱因斯坦相对论的雏形。
我们生活的世界，在空间上是一个三维世界，意思就是说，确定任何一个位置，无论你采用哪种方法，都至少需要三个维度的数据才能确定，比如经度、纬度和高度。但如果我们要确定某件事情的具体状况，那光有空间还不够，还得加上另一个维度，时间。比方说，在2017年9月24日晚上10点，北京市海淀区下了一场雨，这才能准确地说出一个具体的事件。所以，我们需要四个维度，才能准确地确定某件事的时空位置。也就是说，我们生活在一个四维的时空世界中。
但如果要把时间看成是第四维度，就必须要面对一个问题，就是怎么才能把时间和空间联系到一起进行计算呢？比如说，我们怎么才能测量一个四维时空里两个事件之间的距离呢？如果要测量长宽高，那我们可以用统一的单位，比如多少米、多少英尺。但如果要测量时间的话，就只能用小时、分钟、年这些计量单位。那1米跟1小时，怎么结合？
乍看起来，这个问题就跟负数的平方根一样，毫无意义，但其实也有办法解决。举个例子。如果你出门问路，说地铁站还有多远啊？那人家可能会跟你说，有点远，走路还要20分钟，你不如骑个共享单车，5分钟就到了。这就是一个典型的，用时间来表示距离的办法。我们只要找到一个确定的速度，就可以把时间转换成空间。那怎么找到这个确定的速度呢？你可能已经想到了，就是光速。科学家已经发现，光在真空中的传播速度是恒定的，不受任何情况的影响。如果我们把光速和时间结合到一起，就可以得到一个距离单位，比如光年就是一个距离单位，代表光在一年时间内传播的距离。如果我们要计算5分钟相当于多远，那就用5分钟乘以光速，就能得到一个距离。
现在所有的工具都全了，我们看看科学家是如何确定四维时空里，两个事件的距离的。测量两个事件在空间上的距离很简单，而时间上的距离刚才也说了，我们可以测出两个事件之间的时间间隔，然后乘以光速，就能得到一个距离。
关键在于，时间和空间，毕竟还是不一样的两种东西。不能把这两个结果简单地加在一起，那样是没有意义的。这两个距离必须要有所区分，显示出不同才行。那怎么区分呢？科学家想了个办法：建立一个坐标系，然后把空间距离当做横轴，时间距离当成纵轴，这样一来，四维时间里的距离，就既有空间意义，也有时间意义，能把两者完美地结合到一起。
听到这个坐标轴，你应该想起了刚才说到的虚数吧？没错，在这种计算中，虚数就发挥了重要的作用。因为代表时间距离的那根纵轴，实际上就相当于虚数轴。在四维空间的计算中，时间距离前面，是要乘以i的，也就是乘以根号负1，以显示出时间和空间的本质不同。
利用虚数将时间和空间结合在一起，组成坐标系之后，科学家发现了一个非常奇异的现象：我们平常所说的两个事件之间的时间距离和空间距离，其实可以看作是四维距离在时间和空间这两根坐标轴上的投影。这么一来，一旦旋转这个四维坐标系，就可以让时间和距离相互转化。从这一点出发，我们会发现，时间和空间都不是恒定不变的，而是跟物体的运动状态有关。什么意思呢？一个静止的人，和一个高速运动的人，时间在他们身上流逝的快慢是不同的。这就相当于运动旋转了时空坐标系，因此改变了四维距离在时空坐标轴上的投影。听到这里，你可能已经意识到了，这不就是狭义相对论嘛。也就是说，数学家们曾经以为没用的虚数，在相对论的计算中就派上了一个大用场。人们恍然间发现，原来看似毫无意义的虚数之下，居然隐藏着如此重要的意义。
刚才讲的，就是第二个问题：虚数到底有没有用？虚数其实就是负数的平方根，虽然它总在数学计算中出现，但数学家们一开始认为，虚数只是存在于想象中的数，既不存在，也没有意义。但之后人们发现，如果我们要建立一套四维时空中的几何学，就必须用到虚数，才能把时间和空间结合起来。这么一来，看似没有意义的虚数，就巧妙地在四维时空的计算中发挥了重要的作用，并因此在相对论中大放异彩。
除了我们刚刚说的数字上的游戏以外，对形状和空间进行研究的几何，也是数学中非常重要的组成部分。所以看完了无穷大和虚数这两个代数上的概念后，最后还要给你讲一个几何问题，并且和宇宙的形状联系起来，来看看弯曲的三维空间是怎么回事？
空间这个概念人人都知道，但如果要追问一句，空间到底是什么，那恐怕就很少有人能讲清楚了。在一般人看来，空间就是空间，它无处不在，没有大小没有边界更没有形状，我们无法想象扭曲的空间是什么样的。这很正常，不识庐山真面目，只缘身在此山中，人类自己就生活在三维空间之中，是不可能真正形象直观地去认识空间的。但即便如此，我们还是可以通过一些类比和实验，来探究一下三维空间的形状。
我们先把目光放低一个维度，去看一下二维世界的形状。假如有一种生活在二维世界的生物，比方说无限扁的蚂蚁吧，那它们肯定也跟我们一样，无法直观地去观察自己所处的世界到底是什么形状。如果有只二维蚂蚁科学家跟大家说，我们生活的世界根本不是一个平面，而是一个曲面，那大家肯定不信。那有没有什么办法，能让二维蚂蚁科学家验证自己的说法呢？还真有。平面几何里有个常识，三角形的三个内角之和等于180度。但请注意，这个规律，只在平面几何中才成立，在曲面中不成立。如果你在地球仪上画一个三角形，然后把它的三个内角加起来，那这个数字就会大于180度。如果你在马鞍上测量的话，这个数字就会小于180度。
如果二维蚂蚁科学家知道这个知识的话，就好办了。它们可以在二维世界里选三个点，然后在三个点之间连上绳子，拽直，这样就组成了一个三角形，然后去测量这三角形的三个内角之和。如果结果刚好等于180度，那就说明它们的世界是一个平面，如果结果不是180度，那就验证了蚂蚁科学家的说法，它们生活的世界是一个曲面。而且通过最终的结果大小，还能看出这个曲面究竟是球形还是马鞍形。这个方法简单有效，能让蚂蚁在不跳出二维世界的情况下，来认识自己空间的形状。更妙的是，我们人类也可以采用类似的办法，来认识三维空间的形状。
举个例子。在爱因斯坦的广义相对论中，有一个极其重要的假设，就是大质量的物质，比如太阳，会让周围的空间发生弯曲。而且质量越大，空间的弯曲就越厉害。这个预言要怎么验证呢？我们可以采取跟蚂蚁科学家们类似的方法来验证：先选取两颗除了太阳以外的恒星，然后用两根超级长的绳子把地球和这两颗恒星连起来，组成一个三角形。接下来，我们测量这个超级三角形在地球这一端的夹角。因为我们要验证的是“太阳周围的空间是不是发生了弯曲”，所以，当太阳靠近这个三角形的时候，我们测量一次，等太阳远离这个三角形的时候，我们再测量一次，如果两次测到的结果不一样，就说明太阳导致了空间的扭曲。
当然了，在实际操作中，我们找不到这么长的绳子，所以科学家是利用光线来完成实验的，因为光总是沿最短的路线传播。而且为了避免太阳光对光线的干扰，还要在日全食的时候才能进行试验。在1919年，一支英国的天文队伍利用这种方式，成功验证了爱因斯坦的相对论。他们发现，地球和两颗恒星之间的夹角，在有太阳干扰，和没有太阳干扰的情况下出现了微小的差异，说明太阳的确扭曲了周围的空间。之后的其他实验也得到了类似结果，广义相对论由此得到了验证。
那你可能会想，即使我们知道了空间是可以弯曲的，那又怎样？反正我们就生活在空间之内，空间弯不弯曲能影响到我们吗？答案是：对我们的影响太大了。因为引力，就跟空间的弯曲有关。
在牛顿时代，人们就已经知道了万有引力，知道苹果从树上掉下来是因为地球的引力。但问题是，引力到底是怎么来的呢？在爱因斯坦之前，大家只能认为，引力是瞬间作用，反正各种物体之间就是会相互吸引。但爱因斯坦在对时空形态进行研究之后提出，引力其实就是空间的弯曲所导致的：大质量的物体会导致空间弯曲，弯曲的空间又影响了物质的运动，这才是引力的真正本质。
用个模型来解释一下。你可以把空间想象成一张巨大的有弹性的保鲜膜，一般情况下是平坦的。这时候，你往上面放了一个物质，比如说一颗球，那这颗球就会让膜变形，也就是导致空间发生弯曲。而膜一旦弯曲，就会让膜上其他东西的运动轨迹也发生变化。这就是引力的来源。所以，我们感受到的重力，不是因为地球在吸引我们，而是地球弯曲了我们周围的空间，而空间的形变又影响了我们的运动。所以说，弯曲的空间绝不是没有意义的，它会对我们产生切切实实的影响。如果空间扭曲成很特殊的形状，就有可能具有很特殊的性质。
举个例子，如果你在纸上画上一对手套，无论你怎么旋转移动，左手套都变不成右手套。三维世界里的手套也一样，两只手套看起来一模一样，但左手套永远只能戴在左手上，右手套永远只能戴在右手上，没法儿交换。
但如果我们让画手套的那张纸扭曲变形一下，情况就会不同了。如果我们把这张纸的一侧转一圈，再跟另一侧粘贴在一起的话，就能得到一个特殊的二维平面，叫“莫比乌斯环”，这个你可能听说过。如果我们让纸片上的左手套在莫比乌斯环上转一圈，那就会发现，左手套在回到原地的时候，就变成了一只右手套。同样的，三维空间也可能形成像莫比乌斯环这样奇妙的形状。如果你拿着左手套，在这种形状的空间里转一圈，那左手套就会变成右手套，你的心脏也会从身体左边转移到右边。从这个例子中你就能感受到，特殊形态的空间，可能会具有非常奇妙的性质。
刚才讲的就是最后一个问题。弯曲的三维空间是怎么回事？人类生活在三维世界中，很难直观地去想象扭曲的空间是什么样。但通过测量地球和恒星之间的光线夹角，科学家发现大质量的物体的确能让空间扭曲。而且，扭曲的空间会影响物质的运动，这就是引力的本质。除此之外，扭曲的空间还有很多奇妙的性质，比如可能会改变物体的属性等。
讲到这里，《从一到无穷大》中介绍的这几个违反我们日常直觉的数学问题，你就已经了解了，那我再为你回顾一下本期音频的重点。
首先讲了一个纯数学问题，无穷大到底有多大。数学家发现，在无穷大的世界中，整体是可能等于部分的，比如整数的数目和偶数的数目就是相等的。但并不是说所有的无穷大都一样大，无穷大数分为三级，一级比一级大，比如一条线上点的数目，就要比整数的数目要更大。
第二个问题是数学和物理相结合的问题，虚数到底有什么用？虚数就是负数的平方根，科学家们一开始认为，虚数是毫无意义的，也是没用的。但后来物理学家发现，当我们需要把时间和空间相结合，来建立一套四维空间的几何学，或者研究狭义相对论的时候，虚数就能派上大用场。
最后一个问题和几何有关，弯曲的三维空间到底是怎么回事？通过测量地球和恒星之间的夹角，科学家发现，大质量的物体会导致空间发生弯曲，而且引力的本质，就是这种空间的弯曲。不光如此，如果空间弯曲成某些特殊的形状，就可能具有某些极其特别的性质。
撰稿：柴知道 脑图：摩西 转述：郑磊