《心中有数》 哈希解读
《心中有数》｜哈希解读
开头
你好，欢迎每天听本书，我是哈希。今天我要为你解读的这本书，名叫《心中有数》，副标题是“生活中的数学思维”。
这本书的作者叫刘雪峰，是北京航空航天大学计算机学院的副教授，主要研究方向包括线性代数、信号处理、人工智能。他写的这本《心中有数》，获得了第十八届文津图书奖，入选了豆瓣2022年度科学新知图书。
既然是2022年出版的书，显然不算新书了。那为什么现在才解读呢？因为过去两年它都被我束之高阁了。主要就是因为这书名里的“数学”两个字。我向来对数学是“能逃则逃”，所以就迟迟没有翻开它。
但是前阵子一个偶然的机会，我翻开了它，竟然一读就被吸引住了：原来解决数学题的思路可以迁移到这么多的人生选择题中！在管理大小项目时，是应该追求“尽善尽美“，还是学会“委曲求全”？是应该“步步为营”，还是“精益求精”？在生活中，应该更注重频繁的“小确幸”还是偶尔的“大幸福”？年轻时应该多去闯荡，还是坚守赛道？对于这些问题，还有其他更多的问题，数学思维都能够给出它的回答，而且很多时候出人意料。
希望今天这本书，也能够给你一双看世界的新眼睛。
用可控的弊，换取更大的利
我们先来看这么一道题：地图上有7个城市，每两个城市之间的距离是已知的，现在让你求出一条经过所有城市，并且最终回到出发点的距离最短的路线。
这个问题其实应用非常广泛，小到餐厅送餐，邮递员送货；大到几个城市之间工业运输路线的规划，背后都是这类问题。
你可以暂停想一想，你有没有什么好方法应对这类问题呢？
一个坏消息是，数学家从理论上证明，要想找到最优路线，没有什么简便方法，只能暴力穷举，就是把所有的路线都列举出来，然后分别计算长度，才能找到那条最短的。
但是，用这种方法，有一个致命的缺点是，你要耗费的时间会随着节点数量的增加而急剧增加。7个城市的话，一共就有720种排列方式，就是要算720次；这也还好，但是要是稍微增加到10个城市，排列方式就会猛增到362880种；如果有26个城市，排列方式的数量就有1.5×10的25次方这么多，这已经远远超过科学家估测的宇宙中所有恒星的数量了。
在计算机科学中，科学家们给这类问题起了个专有名字，叫NP难问题（NP-hard problem）。这里的“难”不是指没有办法解决，而是指，找到最优解所需要的时间，会随着问题规模的扩大而急剧增加。
而在现实中，规划路线涉及到的节点数量，可能有成百上千个。就更是难上加难了。
那么，该怎么解决呢？
对此，计算机科学家设计了很多的启发式算法。简单来说，这种算法可以帮助我们得到一个接近最优解的解。
比如，还是开头那7个城市最短路线的问题，有一个简单的启发式算法叫“最近邻居法”，就是：从任何一个城市开始，每访问的下一个城市都是距离当前城市最近、同时尚未被访问的城市。
虽然最后你得到的这个解，可能不是最优解，只是一个近似最优解，但它的优势在于，计算出解的速度比穷举法要快得多。
另外，计算机科学家在设计一个启发式算法的时候，可以额外地实现一个效果，就是限制最优解和用启发式算法找到的解的比值。什么意思呢？很简单。比如说，有一个启发式算法的近似比是2，那就意味着，这个算法找出的解对应的距离，在最差的情况下不会超过最优解对应的距离的2倍。
可能我们会质疑了：既然你都不知道最优解是什么，你怎么保证最后不超过它的2倍呢？这确实看起来很神奇，但是，在数学上确实是可以做出这样的保证的。
那么，我们可以从这样的启发式算法中，获得什么启发呢？
那就是，当我们很难达到理想结果的时候，应该学会用“可控的弊”换取“更大的利”。
在寻找最短距离这个问题当中，“可控的弊”就是一个误差范围可控的近似最优解，“更大的利”就是更快的计算速度。
而像这样，用“可控的弊”换取“更大的利”的思想，在实际生活当中也有很多的应用。最直接的，比如，人们经常说的“先完成再完美”；还有，用一点利益让步换取长久合作，或者舍弃局部保全大局，等等。
再比如，在美国，森林野火每年都造成很严重的破坏。过去很多年，他们的应对政策是“野火必救”：就是一旦在野外发现小火苗，就立刻派人扑灭。但这种方法似乎没有降低发生大规模森林火灾的概率。后来，美国林务局在一个生态学家的建议下，修改了野火治理政策，不再实施“野火必救”。也就是说，在一些小火苗燃起的时候，先不扑灭，而是主动在可控范围内，让野火把枯木还有其他的易燃物一起烧掉，这样反而能避免因为累积过多的枯木而造成不可收拾的大火。结果，这样做之后，大规模森林火灾发生的概率明显降低了。
还有，兵书中有一个被称为“围城必阙”的心理战术，是指在攻城的时候，不要把城池全部包围起来，而是打开一个缺口让敌人逃跑。这是因为，如果敌军深陷重围，无处可跑，觉得没有活路，就必定会拼死抵抗，不好降服。而放开缺口，虽然可能会放跑少数的敌人，但是带来的好处是，能够瓦解敌人的士气，更好降伏。这些都属于是主动用可控的弊，换取更大的利。这是当最优解很难取得的时候，解决问题的一个有效策略。
频繁的小确幸与偶尔的大幸福
下面我们再来看一个距离我们生活更近的数学思想。我们想想这么一个问题：偶尔的大幸福和频繁的小确幸，哪种更能使我们感到幸福呢？
小确幸有哪些？比如：早上醒来，发现自己养的植物开花了；出门一按电梯，电梯门就正好开了；开车的时候，你在的这条车道最顺畅；打开购物软件，突然发现购物车里一直没舍得买的商品降价了，等等。这些都是小确幸，是生活当中小小的幸运和快乐。
与小确幸对应的是“大幸福”。比如升职加薪、结婚生子、彩票中奖、金榜题名，等等，这些都是大幸福。
那么，偶尔的大幸福和频繁的小确幸，哪种更能使我们感到幸福呢？
之前我们在解读《有钱，能买到快乐吗？》那本书的时候，提到过经济学家们的一个研究结论：频繁的小额消费，会带来比一次大额消费更多的快乐。这似乎跟这个问题有些类似。那么从数学的视角来看，答案也会是类似的吗？
先说答案：还真是。不过，它的应用场景比我们想象的要更广泛。
书里在这里涉及到一个“卷积”的概念。我们不用去深入理解它，可以就简单地记住，卷积的目的是刻画一个系统对于外界输入的反应。比如，你身体不舒服，吃了药。假设你的身体是系统，那么这个药就是输入，而你的身体变化，就是输出。再有，你到办公室，被老板表扬了，那么这个表扬就是外界的输入，而你产生的心情变化就是你对于这个输入的输出。
这些输入其实都可以看作是外界环境对我们的系统发出的刺激，这种单次的刺激在控制系统中被称为“冲激函数”。而系统受到冲激函数作用后的输出，通常是：从零开始升高，到达最高点后再慢慢下降，直到为零。也就是像一座小山，或者是一个波浪一样。这很好理解，就比如面对一个表扬，我们先是心情突然变好，然后再慢慢平复。这也像一个波浪一样。
那么，如果输入并是一次性的刺激，而是会持续一段时间呢？
在数学中，我们需要把这个连续的输入信号，拆解成一系列的冲激函数，也叫脉冲序列，类似于不断地、密集地给刺激。而卷积，说的就是：系统对于一个脉冲序列的响应，就是它对单独每个脉冲输入的响应的叠加。类似于，一波未平，一波又起，而这波与波之间又靠得很近，那你的心情就相当于是每一波的影响的叠加。
我们可以用卷积来说明这个大幸福和小确幸对幸福感的影响。
显然，不管是大幸福还是小确幸，它们都是一种冲激函数。它们作用在“你”这个系统上，会让你产生幸福感。但是这种感觉不会持续很久，会很快消退。
美国进化心理学学者罗伯特·赖特曾经在他的著作《洞见》当中，从生物进化的角度分析了为什么会这样。我们人类努力做的很多事情，包括吃到好吃的、战胜对手、找到伴侣等，这些行为有助于我们传播自己的基因。进化让我们的大脑在实现这些目标的时候能够产生快感，在这些快感的驱使下，我们才会不断追寻这些目标。但是，进化心理学又告诉我们，这些快感不应该持续很久。毕竟，如果努力成功了一次之后带来的幸福感不会消退，那么我们就会一直沉浸在这种幸福感里，没动力去追求更高的目标了。
那么，如果我们把大幸福和小确幸带来的幸福感都看作是波浪的话，那么大幸福带来的显然就是大波浪，小确幸带来的就是小波浪。但是从卷积的角度来看，一连串频繁发生的小波浪，它们的影响叠加之后，反而会让你整体的幸福感在相对长的时间里一直处于高水平。我在文稿里放了一张示意图，有空时你可以点开看看。
这其实也能跟我们之前解读的那本《有钱能买到快乐吗？》联系起来。为什么像通勤、打扫、人际交往这些小事，它们对于我们幸福感的影响程度，竟然超过了升职加薪，住上大房子等等这些一次性发生的大变化。因为那些小事是我们每一天都要经历的，它们决定了我们日常的小确幸。
我们当然不是要否认大幸福的作用。但是这个数学思想提醒了我们，如果我们的人生只是期盼着下一个大幸福，却忽视了身边的小确幸的话，我们可能在人生的更多时候都处于幸福感的低谷，只有偶尔能够达到波峰；但如果我们能够注意到日常的小确幸，珍惜小确幸，甚至有意识地经常给自己制造小确幸的话，那么就能够平衡幸福感的波动，让自己处在更好的日常状态中。
如何寻找人生最优解？
好，下面呢，我们再来看一类经典的人生场景，也是跟数学问题交集很大的一类场景，就是寻求最优解。可以是项目管理、产品研发中的最优解，也可以是人生规划中的最优解。
我们借用一个数学里面求最优解的典型场景，就是求一个函数的最大值。比如，这是一个二次函数，它的形状是一个像小山一样的抛物线。那么，怎么求它的最大值？
最直接的显然是求导法。我们知道，它总共就是三步：（1）求导数，（2）让导数为零，（3）找到方程的解。
虽然步骤简单，但是要得到正确的结果，你每一步都不能出错。这种模式对应一个成语，就是：“步步为营”。它要求每一步都要完美，把整个流程走完，才能得到想要的结果。
这就是一种我们上学的时候最常用的方法，也可能是当时我们最坚信的理念——每一步都要力求完美。但是，在步入社会之后，我们很可能会发现，这种思路没有那么好用了。因为很多时候，你做不到每一步都是最优的。
这个时候我们其实可以参考另外一种解法，叫数值解法。
还是假设我们面对的是一个形状像小山的二次函数图像。那么，要找到这个函数最大值的位置，我们可以先随便猜一个x的值，代入进函数，得出一个函数值。然后，我们在x的附近试数，如果试了下一个比x更大一点的数，代进函数计算，函数值上升了，那我们就可以再试一个更大一点的数，以此类推；如果得出的函数值比之前的要小，那我们就再后退一点儿，找一个小一点的数，继续试。不断重复这些步骤，就可能得出最大值所在的位置。
这就是数值解法。从数学上看，跟求导法相比，数值解法不需要知道函数的具体表达式，也不要求函数处处可导。所以，在科学工程当中如果需要找函数极值，绝大部分时候会采用这种方法。现在在深度神经网络领域，都是采用这种思路来训练神经网络的参数。
那么，从更广泛的意义上，数值解法能给我们什么启发呢？
你肯定已经感受到，数值解法的思路并不是试图一次就找到函数最大值的位置，不像求导法一样要求在每一步都做到精确，而是通过逐步的迭代不断地逼近那个最大值。
如果迁移到产品开发上，求导法跟数值解法其实对应的是两种思路。
一个产品的开发流程当中有多种不同的模型，其中的一种常见的模型是瀑布模型。它把一个产品的开发分为需求分析、设计、实现、发布等多个阶段。各个阶段按照固定的次序衔接，就像形成瀑布的流水一样，逐级下落。所以叫“瀑布模型”。
瀑布模型的思想，就很像求导法的“步步为营”。你看，产品开发被明确地分为几个阶段，要在完美地完成前一个阶段后才能进入下一个阶段。最后一个阶段的任务完成后，就可以得到最后的理想结果。
但是，用瀑布模型来开发产品，有两个重要的缺点。
第一，这样的开发流程不适应用户需求的变化。因为用户需求在最前端，一旦用户需求发生变化，整个开发流程全部需要从头再来。
第二，只有在项目生命周期到了后期，你才能看到结果。
书里讲到一个真实的例子。老王是一个公司高管，也是一个足球爱好者。他经常苦于踢足球时临时组不成队，所以他就有了一个做个足球社交平台的想法。在这个平台上，人们可以组队订场去踢球。他越想越觉得这个想法很有前景，所以他就辞了工作，投入多年的积蓄，组建开发团队，全情地投入研发这个应用。
他们在研发过程中为了尽善尽美、优化用户体验，开发了很多的功能，开发进度比预期慢了很多，但老王认为这是必需的。因为他认为只有推出一个“完美”的产品到市场，用户才会买单。在整整开发了一年之后，让老王比较满意的“完美”应用终于完成了。
但是，等到他们把这个应用投放市场后发现，虽然这个应用是免费的，但是几个月过去，下载的人非常少。可能是市场并没有这个需求？或者是产品还有很多可以优化的地方？没有人说得清楚为什么。总之这个项目最后不了了之了。
老王的这种产品开发模式就是使用了典型的“瀑布模型”。就像我们前面说的，这个模型最大的问题就是，他们在把自己觉得完美的产品推向市场之前，没法知道用户反馈。那么很可能出现的情况就是，投入了大量的资源、金钱、时间，开发出来了，结果没人买单。
而跟这个瀑布模型相对的是敏捷模型（Agile Model）。在用敏捷模型开发产品的时候，整个开发工作被组织为一系列短周期的快速迭代。每一次迭代都包含了需求分析、设计、实现与测试工作这些所有的流程，并且通过客户的反馈不断地进行改进，直至达到最后的要求。这就很像是数值解法的思路，就是不试图在每一步都做到完美，而是迅速走完一轮，然后在这一轮结果的基础上迭代，反复好多轮，不断地提高，最后也可以得到一个好结果。
很显然，和瀑布模型相比，用敏捷模型做产品开发，有这么两个突出的优势：
第一，敏捷模型的短周期迭代思想，可以很好地适应用户需求的变化。
第二，能够快速得到早期用户的反馈，然后对产品进行改良。
这也类似很多公司经常说的“要先有‘最小可行产品’（Minimum Viable Product，MVP）”或者“小步快跑，快速迭代”。
这种思路还可以用在写文章或者写论文上。书里用写论文来举例：写一篇论文有两种模式。
第一种模式是“求导法”的思路，步步为营。先琢磨一个完美的想法，然后做实验验证，等实验做完，拿到了所有数据再开始写。
第二种模式是“数值解法”思路，快速迭代。稍微有了一个初步可行的想法就开始写，写的时候不太打磨语言细节，用最快的时间写出一个初稿。写完给周围人看，让他们提意见，然后针对这些意见改进想法、用实验验证想法，修改文章。甚至可以在刚有提纲的时候就开始请周围人提建议。这样，经过多轮迭代，完成对文章的打磨。
包括作者在内的很多资深的研究工作者，都会建议年轻学者采用第二种思路，也就是“数值解法”思路。先尽可能地写出一个“可行但不完美的论文”，然后不断地迭代来改进。
刚才我们对比了求导法和数值解法。求导法，我们上学的时候最常用；面对简单规整的函数，它也最好用。而走上社会，面对更加复杂的项目，面对不断变化的需求或形式，数值解法就变得比导数法更实用了。
但是，如果迁移到整个人生呢？你看，我们刚才设想的都是有一道小山丘一样的函数形状，去求最优解。但是，我们真实的人生总是起起伏伏的，它不是一座山丘，而是重峦叠嶂。从图像上看，像一条接连不断，高高低低的波浪线。它有多少个波峰，多少个波谷？波峰有多高，波谷有多低？我们提前并不能知道。这种情况，怎么寻找最优解呢？
还用数值解法，可行吗？
就不太可行了。为什么呢？因为，站在数学的角度来说，当函数形式比较复杂的时候，用数值解法可能会陷入局部的最高点。比如，我们设想一下，眼前这条波浪线的形状像两个山丘，它有两个高点，第二个点更高。那么，如果我们以第一个高点的山脚位置为起点来试数，经过多次迭代之后，一定会收敛到第一个较矮的高点处，也就是局部最高点，而不是全局最高点。
那么，怎么解决呢？我们琢磨一下，数值解法之所以会让我们困在局部最高点里，跳不出来，是因为它的想法是：你只有每一步都比上一步更高，才觉得我们是在朝着一个好的方向走；只要这一步比上一步低了，就不接受，就要掉头离开。
所以要跳出困局，关键就在于，如果处在局部最高点的时候，我们可以接受它右侧位置更低的点，那么从这个点开始迭代，就可以跳出局部最高点，到达全局最高点。
如果切换到人生场景，数值解法之所以会让我们困入局部最高点，是因为它不能接受短期的挫折，每一步都要追求眼前有利可得。而想要跳出来，关键就在于，能接受暂时的不太完美，用暂时的不完美来换取一个更好的未来。
这就好比，很多人在换工作时，都要求下一份工作的工资比当前更高，感觉这样才是往上跳。但是，如果新公司的行业前景更好，那么暂时的薪资退步也不应该是完全不能接受，因为这是为了以后能达到更高的高度。
那么，我们还可以继续追问，我们该以什么样的方式接受不完美？
书里介绍了一种模拟退火算法。先说说这个奇怪的名字是怎么来的。你可能在影视作品里看见过这样的场景：一个铁匠正在反复敲打一个烧的很红的兵器，然后从炉火里把它拿出来，放进水里，只听见“呲”的一声，升起一阵白雾。这叫“淬火”，是快速让金属冷却。
但是退火跟淬火不一样，退火的冷却速度比淬火要慢得多。退火是通过缓慢地降低金属的温度，来增加材料的延展性和韧性。
所以，退火的核心就是三个字：慢慢来。这也是模拟退火算法的核心思想。只不过它慢慢降低的不是金属的温度，而是对于不完美的概率的接受程度。
具体来讲，在刚开始的时候，我们要接受这一次试的数得出的结果有比较大的概率不如上一次。而越往后，我们通过算法设计，逐步降低对于这个不完美的概率的接受程度。
这就是模拟退火算法。它告诉我们，在开始的时候，我们要接受结果有较大的概率并不完美，而这个概率，会随着时间的推移慢慢降低。
那么，迁移到人生场景呢？它能给我们什么启发呢？
作者认为就是，越是年轻的时候，越应该接受更大的随机性，更大的不完美概率。这对应着，年轻的时候要多去闯一闯，多尝试不同的机会，进而找到自己的兴趣、发现自己的潜力。
而模拟退火算法进一步告诉我们，这个随机性应该随着你的年龄慢慢降低。当你年轻的时候，你可以让这个随机性较大，充分探索外界，让自己接受暂时的不完美，好在将来跃上一个更高峰。而在年龄渐长、知道自己最适合什么之后，就要控制随机性，在自己最适合的地方深耕，不轻易切换赛道。
结语
好，以上，就是这本书里，我想跟你分享的重点内容。
人生就是一个不断寻找最优解的过程，也是一个不断寻找更高效策略解决现有问题的过程。而这也是许许多多的数学思维想要达成的目标。今天，我们讲了很多能够迁移到生活场景中的数学思维。除了这些以外，书里还探讨了其他的一些有趣的问题，比如，应该相信“人各有命”还是“事在人为”？“勤能补拙”真的是对的吗？“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”有没有道理？感兴趣的朋友，推荐你去读读原书。
愿你“心中有数”，行之有方。
好，今天这本书，我们就聊到这里。你可以点击音频下方的“文稿”，查收这本听书的全文还有脑图。原书电子版，已经为你附在了文稿末尾，欢迎你进行拓展阅读。你还可以点击右上角的“分享”按钮，把这本书免费分享给你的朋友。
恭喜你，又听完了一本书！
划重点
1、解决NP难问题时，不应执着于找到最优解，而是用启发式算法寻找近似最优解，用可控的误差换取更快的计算速度。
2、在实际生活中，当最优解很难达到时，不要固执地追求完美，而要学会用"可控的弊"换取"更大的利"。
3、从卷积的角度看，频繁的小确幸带来的幸福感，不会像偶尔的大幸福那样昙花一现，而是能在相对长的时间里维持在高位。
4、年轻时要像"模拟退火算法"那样多尝试，接受更大的随机性，而随着年龄增长，应该逐步降低随机性，深耕最适合自己的领域。